Число под знаком логарифма

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

число под знаком логарифма

Применение свойств логарифмов при упрощении выражение. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма. Логарифмом положительного числа b по основанию a Если число, стоящее под знаком логарифма, и основание логарифма равны, то логарифм. Кстати, а ты заметил что и у степени числа и у логарифма основание всегда . степень, показатель этой степени можно вынести за знак логарифма.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день.

число под знаком логарифма

Сложение и вычитание логарифмов Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: Тогда их можно складывать и вычитать, причем: Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного.

Если основания разные, эти правила не работают! Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются см.

Взгляните на примеры — и убедитесь: Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы: Основания одинаковые, используем формулу разности: Снова основания одинаковые, поэтому имеем: Но после преобразований получаются вполне нормальные числа.

Логарифмические неравенства #1

На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе иногда — практически без изменений предлагаются на ЕГЭ. Вынесение показателя степени из логарифма Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам: Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: Именно это чаще всего и требуется. Избавимся от степени в аргументе по первой формуле: До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем.

Основные свойства логарифмов

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано.

В результате получился ответ: Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: Сначала докажем это свойство для положительных b.

Свойства логарифмов, формулы и их доказательство.

Осталось доказать это свойство для отрицательных b. Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня: Доказательство базируется на равенстве смотрите определение степени с дробным показателемкоторое справедливо для любых положительных b, и свойстве логарифма степени: Вот пример использования этого свойства: Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида.

Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов. Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.

Основные свойства логарифмов

Отсюда видно, что logab и logba — взаимно обратные числа. Также часто используется формулакоторая удобна при нахождении значений логарифмов.

Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида.

число под знаком логарифма

Имеем достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a: Осталось доказать свойства сравнения логарифмов. Докажем первую часть этого утверждения методом от противного, вторая часть доказывается абсолютно аналогично. Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу.

Воспользуемся методом от противного. На этом доказательство завершено.